La Congettura di Poincaré: una storia matematica

A Cura di Maurizio Melis

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Si racconta che uno studente di Euclide - il padre della geometria vissuto tra il IV e il III sec. a.C. - dopo aver appreso il primo postulato abbia chiesto al Maestro che scopo pratico avesse lo studio della geometria. Stando alla leggenda, Euclide si sarebbe allora rivolto al suo schiavo replicando con sdegno: "Da' a questo ragazzo una moneta, dato che deve trarre un profitto da ciò che apprende".
Molti secolo dopo, nel 2002, il matematico russo Grigori Perelman, ha risolto uno dei più longevi e affascinanti enigmi della matematica, che resisteva agli attacchi delle menti migliori sin dalla fine dell'800. Si tratta della Congettura di Poincaré, che Perelman ha dimostrato all'interno di un lavoro, per la verità, di portata ancora più vasta. Per questo successo gli è stata assegnata la medaglia Fields (il più alto riconoscimento a cui possa ambire un matematico) e il premio messo in palio dal Clay Institute (1 milione di dollari tondo-tondo) per aver risolto uno dei 7 problemi del millennio, annunciati all'inizio del 2000: Perelman ha rifiutato entrambi. Insomma: la leggenda di Euclide che si rinnova, in qualche modo, anche nella nostra moderna (e materialistica) epoca.

Ma chi fu Henry Poincaré?
Poincaré, francese, nato nel 1854 e morto nel 1912 fu un topologo, e diede contributi fondamentali a questa disciplina, che studia proprietà molto generali dello spazio geometrico. Per esempio la teoria della relatività generale, che Einstein portò a compimento nel 1915 - perciò solo 3 anni dopo la morte del matematico - non sarebbe stata possibile senza il suo lavoro. La Congettura di Poincaré (vedi box quì a fianco) è stato uno dei più grandi rompicapi matematici. Certamente il più grande che ci ha lasciato il topologo francese.

E' uscito un libro (si intitola "La congettura di Poincaré", di Donal O'Shea - Ed. BUR) che racconta la storia della Congettura attraversando un po' tutta la storia della matematica, da Euclide e Pitagora fino ai giorni nostri e all'impresa di Perelman. E' la natura della matematica:: tutto il suo sviluppo si svolge lungo un filo senza soluzione di continuità. I problemi passano da una generazione di matematici a quella successiva come un testimone. Si ampliano, divengono sempre più generali e più astratti. Ma quel filo è sempre possibile rintracciarlo. "La congettura di Poincarè" è uno dei più spledidi esempi di questa continuità, così nel libro di O'Shea emerge chiaramente come i problemi affrontati da Riemann, Poincaré ed Einstein, che volevano capire la forma dell'Universo, siano il naturale sviluppo di semi gettati 2000 anni prima da uomini come Pitagora, Eratostene e Tolomeo che all'alba dei tempi si interrogavano sulla forma del mondo. E infatti, uno dei capitoli più interessanti è dedicato a questa tematica, a cui vale almeno la pena di accennare.

Che la terra fosse sferica, infatti, era patrimonio comune di ogni persona colta già nell'antichità. (L'idea che nel medioevo si ritenesse la terra piatta, infatti, è una leggenda priva di fondamento, dovuta a un certo Irving.) Tuttavia la sfericità della Terra era una ragionevole supposizione, una brillante intuizione, ma non una certezza. Di certo c'era solo che la terra fosse curva. Ma finché non fu esplorata e mappata completamente, ciò che accadde solo nel XIX secolo, nulla a rigor di logica impediva di asserire, per esempio, che avesse la forma di una ciambella con il buco in corrispondenza dei poli, all'epoca ancora inesplorati.

Muovendosi tra apparenti paradossi, tra il passato e il futuro, "La Congettura di Poincaré" è perciò un viaggio dentro una disciplina poco nota, la topologia, che oggi è fondamentale negli studi di fisica più avanzati, quelli che indagano la natura più profonda dell'Universo. Ha scritto Galileo: "Il libro della Natura è scritto nel linguaggio della matematica, e i suoi caratteri sono cerchi, triangoli e quadrati." Non poteva immaginare quanto profetiche si sarebbero rivelate le sue parole.